Préchauffez le four à 210 degrés. Pelez la courge butternut, retirez les graines et coupez la chair en cubes de trois centimètres. Mélangez-les avec l'huile d'olive, du sel et du poivre noir, puis étalez-les sur une plaque de cuisson en veillant à bien les espacer. Cet espace n'est pas un détail : si les morceaux se touchent, l'humidité libérée reste piégée entre eux et la courge cuit à la vapeur en devenant aqueuse au lieu de dorer. Faites-les rôtir pendant vingt à vingt-cinq minutes jusqu'à ce que les bords caramélisent.
Pendant ce temps, faites torréfier les noix à sec dans une poêle jusqu'à ce qu'elles exhalent leur parfum, puis concassez-les grossièrement après refroidissement.
Faites frémir de l'eau avec le vinaigre de vin blanc dans une casserole basse, de manière à ce que seules de petites bulles s'échappent du fond. Cassez les œufs un par un dans une tasse et faites-les glisser délicatement dans l'eau. Pochez-les pendant trois minutes et sortez-les à l'aide d'une écumoire.
Faites fondre le beurre doux dans une petite casserole jusqu'à ce qu'il mousse et dégage une légère odeur de noisette, puis faites-y frire les feuilles de sauge pendant une demi-minute jusqu'à ce qu'elles soient croustillantes.
Disposez la courge sur une assiette, déposez les œufs par-dessus et nappez le tout de beurre de sauge. Râpez le pecorino en copeaux, parsemez de noix et de flocons de piment, puis donnez un tour de moulin à poivre noir.