Épluchez la patate douce, coupez-la en morceaux et faites-les cuire pendant quinze minutes dans de l'eau salée. Égouttez-les et laissez-les sécher une minute sur le feu dans la casserole découverte ; une purée faite avec des morceaux encore humides devient collante. Écrasez-les avec la moitié du beurre et la moutarde jusqu'à obtention d'une purée lisse, puis réservez au chaud.
Sortez le filet mignon du réfrigérateur une demi-heure avant la cuisson et séchez-le en le tapotant. Assaisonnez-le de sel et de poivre sur toutes ses faces. Faites chauffer une cuillère à soupe d'huile d'olive dans une poêle et saisissez la viande à feu vif pendant trois minutes pour la colorer de tous les côtés. Baissez le feu, ajoutez le reste du beurre et le thym, puis poursuivez la cuisson pendant huit à dix minutes en retournant régulièrement le filet et en l'arrosant de beurre fondu. Laissez-le ensuite reposer pendant cinq minutes sous une feuille d'aluminium : ce repos permet aux jus de se redistribuer dans la viande afin qu'ils y restent lors de la découpe au lieu de s'écouler sur la planche.
Pendant ce temps, coupez le fenouil en tranches fines, la pomme en quartiers et l'échalote en demi-rondelles. Faites chauffer le reste d'huile d'olive dans la poêle ayant servi à cuire la viande et faites-y revenir le fenouil pendant cinq minutes. Ajoutez l'échalote et la pomme, déglacez avec le vinaigre de cidre et le bouillon, puis laissez mijoter doucement pendant dix minutes jusqu'à ce que le fenouil soit tendre et que le liquide ait réduit pour former un jus brillant.
Coupez le filet mignon en tranches et servez-le sur la purée, accompagné du fenouil et de la pomme. Nappez le tout avec le jus de cuisson.